Question

已知二次函数f（x） 对任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，设向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2）．
（1）分别求

a

•

b

和

c

•

d

的取值范围；
（2）当x∈[0，π]时，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

分析：（1）根据向量的坐标运算公式即可求得

a

•

b

和

c

•

d

的取值范围；
（2）由f （1-x）=f （1+x）可得f（x）图象关于x=1对称，结合f（x）为二次函数，

a

• 

b

≥1，

c

•

d

≥1，即

a

•

b

，

c

•

d

均在二次函数f（x）对称轴右侧，可对其开口方向分类讨论，结合其对应的单调情况求不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的解集．

解答：解：（1）

a

•

b

=2sin²x+1≥1    

c

•

d

=2cos²x+2≥1
（2）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）图象关于x=1对称
当二次项系数m＞0时，f（x）在（1，+∞）内单调递增，
由f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）⇒

a

•

b

＞

c

•

d

，即2sin²x+1＞2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈(

π

4

，

3π

4

)
当二次项系数m＜0时，f（x）在（1，+∞）内单调递减，
由f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）⇒

a

•

b

＞

c

•

d

，即2sin²x+1＜2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈[0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]、
故当m＞0时不等式的解集为（

π

4

，

3π

4

）；当m＜0时不等式的解集为 [0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]

点评：本题考查复合三角函数的单调性，关键在于确定好

a

•

b

≥1与

c

•

d

≥1后，对二次函数f（x）的开口分类讨论，从而利用其单调性解决问题，属于中档题．