Question

【题目】如图，四棱锥，底面是的菱形，侧面是边长为的正三角形，O是AD的中点， 为的中点．

（1）求证：；

（2）若PO与底面ABCD垂直，求直线与平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（I）取AD中点 O，连接OP，OC，AC，证明OC⊥AD，OP⊥AD．推出AD⊥平面POC，即可在，PC⊥AD．（II）证明PO⊥平面ABCD．说明PO为三棱锥P-ACD的高．求出△PAC的面积，设点D到平面 PAC的距离为h，由VD-PAC=VP-ACD，求出点D到平面PAC的距离，然后求解直线DM与平面PAC所成的角的正弦值

试题解析：（1）连接，，

由题意可知，均为正三角形．

所以，．

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以．

（2）又平面．即为三棱锥的高．

在中，，

在中，，，

边上的高，

所以的面积．

设点到平面的距离为，由得，

，

又，

所以，解得．

故点到平面的距离为．

设直线与平面所成的角为

则，

所以直线与平面所成的角的正弦值为．