Question

【题目】如图，已知的两顶点坐标，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，，，．

（Ⅰ）求证：为定值，并求出动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过的斜率不为零直线交曲线于、两点，求证：为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明详见解析，曲线的方程为；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）利用切线长相等可求得；根据椭圆定义可知动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（不含椭圆与轴的交点），进而求得结果；

（Ⅱ）设的方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得，根据平面向量数量积运算求得，进而求得.

（Ⅰ）由题意得：，，

，

，

动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（不含椭圆与轴的交点），

设曲线方程为：，

则，解得：，又，，

曲线的方程为；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，设，，

直线的斜率不为零，可设的方程为，

联立消去并整理得：，

则，

，，

，

，

，，

综上可得：为定值．