Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）若，设函数在上的极值点为，求证： .

Answer 1

【答案】(1)当时， 的极大值为，无极小值；(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解.

试题解析：（1）当时， ，定义域为，

，令，得.

		极大值

当时， 的极大值为，无极小值.

（2），由题意对恒成立.

， ，

对恒成立，

对恒成立.

令， ，则，

①若，即，则对恒成立，

在上单调递减，

则， ， 与矛盾，舍去；

②若，即，令，得，

当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增，

当时， ，

.综上.

（3）当时， ， ，

令， ，

则 ，令，得，

①当时， ， 单调递减， ，

恒成立， 单调递减，且.

②当时， ， 单调递增，

又 ，

存在唯一，使得， ，

当时， ， 单调递增，

当时， ， 单调递减，且，

由①和②可知， 在单调递增，在上单调递减，

当时， 取极大值.

， ，

，

又， ， .