Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立方程，得到关于的一元二次方程，由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数的取值范围．

试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．依题意，

由右焦点到右顶点的距离为，得解得．所以，所以椭圆的标准方程是．

（2）解：存在直线，使得成立．理由如下：

由得．

，化简得．

设，则．

若，所以，，

，，

化简得，，将代入中，，

解得．又由，，

从而，或，所以实数的取值范围是．