Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，AB 1，AP AD 2.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若点M，N分别在AB，PC上，且平面，试确定点M，N的位置．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M为AB的中点，N为PC的中点

【解析】

（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．以为正交基底，建立空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量为，由空间向量的线面角公式求解即可；（2）设 ，利用平面PCD，所以∥，得到的方程，求解即可确定M,N的位置

（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．

以为正交基底，建立如图所示的空间

直角坐标系，则

从而

设平面PCD的法向量

则即

不妨取则．

所以平面PCD的一个法向量为．

设直线PB与平面PCD所成角为所以

即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．

（2）设则

设则而

所以．由（1）知，平面PCD的一个法向量为，因为平面PCD，所以∥．

所以解得，．

所以M为AB的中点，N为PC的中点．