Question

【题目】在四棱锥中，底面是一直角梯形，，,，，底面.

（1）在线段上是否存在一点F，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；

（2）在（1）的条件下，若与所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，2；（2）.

【解析】

（1）假设存在点F，建立如图所示的空间直角坐标系，F，写出的坐标，并求出面平面的一个法向量，利用求出的值，即可得答案；

（2），，因为与所成的角为，可得，

取平面的一个法向量，利用向量的坐标运算求出，即可得答案；

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D，，，C，设，则P，假设存在点F，使平面，F，

设平面的一个法向量为，

，，，

则，取，则，，

∴，要使平面，

则，即，，解得：，

所以.

（2），，因为与所成的角为，所以

，则

由（1）知平面的一个法向量为，

∵，，，∴，，

∴，∴，

又平面，∴，则平面，

所以，取平面的一个法向量，则

，

所以二面角的余弦值为.