Question

已知a，b∈R，求证：

|a+b|

1+|a+b|

≤

|a|

1+|a|

+

|b|

1+|b|

．

Answer 1

分析：先令f（x）=

x

1+x

（x≥0），证f（x）单调递增，再利用其单调性对不等式左式进行两次放缩即可．

解答：证明：令f（x）=

x

1+x

（x≥0），易证f（x）在[0，+∞）上单调递增．
|a+b|≤|a|+|b|，
∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），
即

|a+b|

1+|a+b|

≤

|a|+|b|

1+|a|+|b|

=

|a|

1+|a|+|b|

+

|b|

1+|a|+|b|

≤

|a|

1+|a|

+

|b|

1+|b|

．

点评：在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A＞B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A＞C且C＞B，从而得到A＞B．我们把这种把B放大到C（或把A缩小到C）的方法称为放缩法．