Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），对任意的x∈R，都有f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，
（1）求2a﹣b的值；
（2）函数f（x）取得最小值0，且对任意x∈R，不等式x≤f（x）≤（ ）2恒成立，求函数f（x）的解析式；
（3）若方程f（x）=x没有实数根，判断方程f（f（x））=x根的情况，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，可得函数y=f（x）图象的对称轴方程为x= =﹣1，

∴﹣ =﹣1，∴2a﹣b=0

（2）解：当x=﹣1 时，f（x）=a﹣b+c=0，

对于不等式x≤f（x）≤（ ）2 ，当x=1时，有1≤f（1）≤1，∴f（1）=a+b+c=1．

由以上方程解得 a= =c，b= ，∴函数的解析式为

（3）解：因为方程f（x）=x无实根，所以当a＞0时，不等式f（x）＞x恒成立，

∴f（f（x））＞f（x）＞x，故方程f（f（x））=x无实数解．

当a＜0时，不等式f（x）＜x恒成立，∴f（f（x））＜f（x）＜x，

故方程f（f（x））=x无实数解，

综上得：方程f（f（x））=x无实数解

【解析】（1）由f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，可得函数y=f（x）图象的对称轴方程为 x=﹣ =﹣1，由此求得 2a﹣b的值． （2）当x=﹣1 时，f（x）=a﹣b+c=0，对于不等式x≤f（x）≤（ ）2 ， 当x=1时，由1≤f（1）≤1，可得f（1）=a+b+c=1．求得a、b、c的值，可得函数的解析式．（3）由题意可得，当a＞0时，不等式f（x）＞x恒成立，f（f（x））＞f（x）＞x，方程f（f（x））=x无实数解．当a＜0时，由不等式f（x）＜x恒成立，可得f（f（x））＜f（x）＜x，方程f（f（x））=x无实数解，综合可得结论．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．