Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，左焦点为，点是椭圆上位于轴上方的一个动点，当直线的斜率为1时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆的另外一个交点为，点关于轴的对称点为，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由题意可得 ，，从而得到椭圆的方程；

(2) 设直线的方程为联立方程利用韦达定理表示面积，结合均值不等式即可得到最值.

（1）方法一：∵，∴，又，∴.

∴当直线的斜率为1时，直线通过椭圆的上顶点，∴.

又，，∴，椭圆的方程为.

方法二：设椭圆的右焦点为，在中，，，，

∴，即. ①

又∵，∴. ②

联立①②有，，又，∴.

∴椭圆的方程为.

方法三：∵，∴，又，∴.

∴椭圆的方程可化为，即. ①

又直线的方程为. ②

联立①②有，即，∴或.

直线的斜率为1且在轴上方，∴，∴的坐标为.

∴，∴，又，∴.

∴椭圆的方程为.

（2）∵在轴上方，∴直线的斜率不为0，设直线的方程为.

∵，，三点能构成三角形，∴直线不垂直于轴，∴，

设的坐标为，的坐标为，则的坐标为.

联立，有，即，

∴，.

方法一： ，当且仅当即时取等号.

∴面积的最大值为.

方法二：直线的方程为，令，则

，

∴直线过定点，设定点为，则

，

当且仅当即时取等号.

∴面积的最大值为.