Question

【题目】已知椭圆：的左右焦点分别为,,,为椭圆上的两动点，且以,,，四个点为顶点的凸四边形的面积的最大值为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆经过点，且直线的斜率是直线，的斜率的等比中项，求面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题得，化简即得椭圆的离心率；（2）设直线的方程为，

联立直线和椭圆方程得到韦达定理，由，得且．再求出，即得面积的取值范围．

（1）由题，当位于椭圆的短轴端点时，凸四边形的面积最大为，

所以，．

（2）由（1）可设椭圆的方程为，将点代入得椭圆．

由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，

，满足，消去得．

，

且，，．

因为直线，，的斜率依次成等比数列，所以，

即，又，所以，即．

由于直线，的斜率存在，且，得且．

设为点到直线的距离，

则

，

设，

所以的取值范围为．