Question

【题目】已知函数，且.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意，都有，求的取值范围；

（3）证明函数的图象在图象的下方.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

试题（1）首先求出函数的定义域，再对 求导，代入 ，解方程可得，即可求得函数的解析式；
（2）由题意可得 恒成立，即 恒成立，令，求出的导数，单调区间，求得最大值，即可得到的取值范围；
（3）要证明函数的图象在图象的下方.，即证 恒成立，即证 ，即证 ，令 求得导数，得到单调性，即可得证．

试题解析：（1）易知函数的定义域 所以 ，又；

（2）若对任意的 ，都有
即 恒成立，即 恒成立
令，则

当 时，所以 单调递增；
当 时，所以单调递减；

时，有最大值 ，即 的取值范围为
（3）要证明函数的图象在图象的下方.，即证 恒成立，即

由（2）可得： ，所以

要证明 ，只要证明 ，即证
令 则 当 时， 所以 单调递增，

即
所以 从而得到 ，
所以函数的图象在图象的下方