Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线的切线交x轴于点D，交y轴于Q点，当时，．

（1）判断的形状，并求抛物线的方程；

（2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点H，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点H的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）等腰三角形，见解析（Ⅱ）

【解析】

试题（1）设P（x1，y1），求出切线l的方程，求解三角形的顶点坐标，排除边长关系，然后判断三角形的形状，然后求解抛物线方程．

（2）求出A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），设H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），求出AB的中垂线方程，AH的中垂线方程，解得圆心坐标，由，求解H点坐标即可．

试题解析：

(1) （1）设P（x1，y1），

则切线l的方程为，且，

所以，，所以|FQ|=|FP|，

所以△PFQ为等腰三角形，且D为PQ的中点，

所以DF⊥PQ，因为|DF|=2，∠PFD=60°，

所以∠QFD=60°，所以，得p=2，

所以抛物线方程为x2=4y；

（2）由已知，得A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），

设H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），

AB的中垂线方程为y=﹣x+4，①AH的中垂线方程为，②

联立①②，解得圆心坐标为：，

kNH==，

由，得，

因为x0≠0，x0≠4，所以x0=﹣2，

所以H点坐标为（﹣2，1）．