已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.
(1)当n∈N*时,求f(n)的表达式;
(2)设an=n·f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+an<2;
(3)设bn=(9-n),n∈N*,Sn为{bn}的前n项和,当Sn最大时,求n的值.
(1)解:令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),
∴{f(n)}是首项为,公比为的等比数列,
∴f(n)=()n.
(2)证明:设Tn为{an}的前n项和,
∵an=n·f(n)=n·()n,
∴Tn=+2×()2+3×()3+…+n×()n,
Tn=()2+2×()3+3×()4+…+(n-1)×()n+n×()n+1,
两式相减得Tn=+()2+…+()n-n×()n+1,
∴Tn=2-()n-1-n×()n<2.
(3)解:∵f(n)=()n,
∴bn=(9-n)=(9-n)=,
∴当n≤8时,bn>0;
当n=9时,bn=0;
当n>9时,bn<0.
∴当n=8或9时,Sn取得最大值.
科目:高中数学 来源: 题型:
对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
(A)a1,a3,a9成等比数列 (B)a2,a3,a6成等比数列
(C)a2,a4,a8成等比数列 (D)a3,a6,a9成等比数列
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=f(n+1)+f(n),n∈N*,记数列{}的前n项和为Sn,则Sn=10时,n的值是( )
(A)10 (B)120 (C)130 (D)140
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