Question

【题目】设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
（1）若函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|的最小值，并求取的最小值时x的取值范围；
（2）若g（x）= 的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由绝对值三角不等式可得，

f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，

当且仅当 ．即 ，即x∈[ ， ]]时等号成立，故f（x）的最小值为2

（2）解：g（x）= 的定义域为R等价于f（x）+m≠0在R上恒成立，

即f（x）+m=0在R上无解，所以m＞﹣2，即实数m的取值范围为（﹣2，+∞）

【解析】（1）根据绝对值不等式的解法，进行求解即可．（2）将g（x）= 的定义域为R，转化为（x）+m≠0在R上恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，结合函数的最值进行求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零．