Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知，证明： ；

（Ⅱ）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用条件运用基本不等式，将原式化为，再应用条件，即可得结果；（Ⅱ）“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”，只需求出的最小值即可得结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为，

所以.

所以要证明，

即证明.

因为

，

所以.

因为，所以.

所以.

（Ⅱ）设，

则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.

当时，

此时，

要使恒成立，必须，解得.

当时， 不可能恒成立.

当时，

此时，

要使恒成立，必须，解得.

综上可知，实数的取范为.

【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得的范围.