Question

【题目】为半椭圆的左、右两个顶点，为上焦点，将半椭圆和线段合在一起称为曲线

（1）求的外接圆圆心的坐标

（2）过焦点的直线与曲线交于两点，若，求所有满足条件的直线的方程

（3）对于一般的封闭曲线，曲线上任意两点距离的最大值称为该曲线的“直径”，如圆的“直径”就是通常的直径，椭圆的“直径”就是长轴的长，求该曲线的“直径”

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先根据已知条件求出的三边长,可得为边长为的等边三角形,再利用等边三角形的性质,即可求得外接圆圆心的坐标;

（2）设出方程,与椭圆方程联立方程组,得出,用弦长公式求出的长,用含的式子表示,根据,即可求出值;

（3）先设曲线上两动点的坐标,代入两点间距离公式,再利用放缩法,以及椭圆上点的范围即可求出两动点间距离的范围,进而求出“直径”长.

（1）由题意可知:

则,, 故为边长为的等边三角形

根据等边三角形外心和重心重合,

三角形的重心坐标公式为: ,

设的外接圆圆心的坐标为,

,

故外接圆圆心的坐标为:.

（2）

记椭圆的上顶点坐标为

①若直线与曲线的两交点,一个在椭圆上,另一个在线段上,如图.

,,即此时,

只有直线符合题意.

②设点两点都在椭圆上,

直线

将椭圆和直线联立方程组,消掉:

则: 得 即

由韦达定理可得:

由弦长公式得: 解得:

当时,直线

当时,直线

综上所述,满足题意的直线有三条分别为:.

（3）设曲线上两动点

显然至少有一点在椭圆上时才能取得最大

不妨设

则

等号成立时:,或,

由两点距离公式可得:

故曲线的“直径”为:.