Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在和处的切线相互平行，求的值；

（2）试讨论的单调性；

（3）设，对任意的，均存在，使得.试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．

(1) f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(4分)

(2) f′(x)＝(x＞0)．

①当0＜a＜时，＞2，

在区间(0,2)和上，f′(x)＞0；

在区间上，f′(x)＜0，

故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.(6分)

②当a＝时，f′(x)＝≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．(8分)

③当a＞时，0＜＜2，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.(10分)

(3) 由已知，在(0,2]上有f(x)max＜g(x)max.(11分)

由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，

①当0＜a≤时，f(x)在(0,2]上单调递增，

故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2

＝－2a－2＋2ln2，

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤.(13分)

②当a＞时，f(x)在]上单调递增，在]上单调递减，

故f(x)max＝f＝－2－－2lna.

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，

∴－2－2lna＜0，f(x)max＜0，(15分)

综上所述，a＞0.(16分)

【解析】

试题（1）先求出函数的导数，利用条件“曲线在和处的切线相互平行”得到，从而在方程中求出的值；（2）对参数的符号进行分类讨论，以确定方程的根是否在定义域内，并对时，就导数方程的根与的大小进行三种情况的分类讨论，从而确定函数的单调区间；（3）将问题中的不等式等价转化为，充分利用（2）的结论确定函数在区间上的最大值，从而求出参数的取值范围.

试题解析：函数定义域为，

（1）∵函数

依题意，，即，解得；

（2），

①当时，，，

在区间上，；在区间上，，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

②当时，，

在区间和上，；在区间上，，

故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

③当时，，故的单调递增区间为；

④当时，，

在区间和上，；在区间上，，

故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（3）由已知，在(0,2]上有f(x)max＜g(x)max.

由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，

①当a≤时，f(x)在(0,2]上单调递增，

故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2

＝－2a－2＋2ln2，

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故ln2－1＜a≤.

②当a＞时，f(x)在]上单调递增，在]上单调递减，

故f(x)max＝f＝－2－－2lna.

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，

∴－2－2lna＜0，即f(x)max＜0，符合题意。

综上所述，a＞ln2－1.