Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）曲线普通方程，曲线的直角坐标方程；（2）或.

【解析】

（1）将代入 得的普通方程；

将左右同时乘以得，再化简得到曲线的直角坐标方程。

（2）将代入，得，利用韦达定理与参数的几何意义可求出实数的值。

（1）曲线参数方程为，

则其普通方程，

因为曲线的极坐标方程为，

所以，

即，即曲线的直角坐标方程.

（2）设两点所对应参数分别为，，

将代入，得，

要使与有两个不同的交点，

则，即，

由韦达定理有，根据参数的几何意义可知，，

又由可得，即或，

∴当时，有，符合题意.

当时，有，符合题意.

综上所述，实数的值为或.