Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）,椭圆上的点到焦点的最小距离为且过点P（,1）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（3,0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q,若点P关于x轴的对称点为P',判断直线P'Q是否经过定点,如果经过,求出该定点坐标；如果不经过,说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）直线P'Q过x轴上定点．

【解析】

（1）利用已知条件列出方程组,求出a,b即可得到椭圆方程．

（2）分析当斜率为时可知定点若存在则必在x轴上,设定点坐标,再设直线方程与P、Q坐标,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,结合三点共线则任意两点的斜率相等列式,进而求出定点坐标即可.

解：（1）由题意,解得,

故椭圆C的方程为．

（2）显然直线的斜率存在,且当斜率为0时, 直线P'Q为x轴.

故定点若存在则必在x轴上,设定点为.

故设,．

将直线与椭圆的方程联立得：,

消去,整理得．

由根与系数之间的关系可得：,．

∵点P关于y轴的对称点为P',则P'（x1,﹣y1）,且三点共线

∴,即.

即,

整理对,代入韦达定理有,即恒成立.解得.

∴直线P'Q过x轴上定点．