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    【题目】在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为.

    （Ⅰ）求轨迹的方程；

    （Ⅱ）若动直线：与轨迹交于不同的两点、，点在轨迹上，且四边形为平行四边形.证明：四边形的面积为定值.

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

    【解析】

    (Ⅰ)由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；

    (Ⅱ)联立直线方程与(Ⅰ)中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的表达式，进一步计算即可证得其面积为定值.

    （Ⅰ）由题意：，

    ∴根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，.

    ∴，，，

    ∴轨迹的方程为：；

    （Ⅱ）证明：设、，

    联立方程组，得，

    ，∴，

    ，，

    ∴的中点，∴，

    点在椭圆上，∴，

    ∴，

    ∴ ，

    点到直线的距离，

    ∴

    .

    ∴四边形的面积为定值.

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    （2）若存在，，使，且，求实数的取值范围；

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    （1）若，证明：是等比数列；

    （2）若存在，使得，，成等差数列．

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    ② 证明：．

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    （1）请解释的实际意义，并求的表达式；

    （2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？

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