Question

【题目】已知数列满足（），（）．

（1）若，证明：是等比数列；

（2）若存在，使得，，成等差数列．

① 求数列的通项公式；

② 证明：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析

【解析】

（1）对两边同除以并整理得：，结合即可证得是等比数列，问题得证。

（2）①设，由（1）可得，结合，，成等差数列即可求得，问题得解。

②将转化成，令，且，即可再转化成，记（），利用导数即可求得，问题得证。

（1）由，得，得，即，

因为，所以，所以（），

所以是以为首项，2为公比的等比数列．

（2）① 设，由（1）知，， 所以，即，

所以．因为，，成等差数列，

则，所以，所以，

所以，即．

② 要证，

即证，即证．

设，则，且，

从而只需证，当时，． 设（），

则，所以在上单调递增，

所以，即，因为，所以，

所以，原不等式得证．