Question

【题目】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，给出命题：①；②若，则存在，使得；③与所有极值之和一定小于0；④若，且是曲线的一条切线，则的取值范围是.则以上命题正确序号是_____________.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

列出关系式求解与的关系，化简函数的解析式，利用函数的零点判断①的正误；通过的范围，结合函数的图象判断②的正误；求出极值之和判断③正误；利用函数的导数结合函数的切线方程，转化推出参量的范围判断④的正误即可．

解：①正确；

函数的导函数为：；且导函数的极值点是的零点

得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故是的极小值点；

即；

；

函数有极值；

中，；

解得：；

②正确；

当时，有两个不等的实根，设为，；

由①知，是的极小值点；

，

当 时，，单调递增，

当 时，，单调递减，

当 时，，单调递增，

当时，，

当时， ，

存在，使得；

③正确；

由①知极值为

设有两个不等的实根，设为，；

，

的两个极值，

与所有极值之和为： ．

④正确；

，

当时，

若．解得，

如图：且是的一条切线，

设切点坐标，，则，，

因为，

，

，

，

，．

故答案为：①②③④．