Question

【题目】在平面直角坐标系中，的顶点，，且、、成等差数列.

（1）求的顶点的轨迹方程；

（2）直线与顶点的轨迹交于两点，当线段的中点落在直线上时，试问：线段的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）恒过定点；定点

【解析】

（1）由正弦定理，结合椭圆定义，即可容易求得轨迹方程；

（2）联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得中点的坐标，根据其纵坐标为，即可求得的等量关系，再求出直线垂直平分线的方程，再求直线恒过的定点即可.

（1）在中，，

根据正弦定理，可得，且，

由椭圆定义，可知顶点的轨迹为中心在原点，

以为焦点的椭圆（不包括与轴交点）.

，，，

轨迹方程为.

（2）设，，

由，得，

，

，，

点落在直线上，

，，

，，

线段的垂直平分线方程为，即，

线段的垂直平分线恒过定点.