Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若线段上的点满足，求棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

解法一：（I）证明BC分别垂直平面PAC的两条直线，结合直线与平面垂直的判定，即可。（II）结合直线与平面垂直判定，计算得到MG垂直平面ABC，进而计算面积，利用，即可。解法二：（I）同解法一（II）结合直线与平面垂直判定，得到平面，利用

解法一：（Ⅰ）在中，∵，，，

∴，

∴.

连接

∵为的中点，，

∴.

又∵平面平面，平面平面，平面.

∴平面，

∴.

又，

∴平面.

（Ⅱ）在中，

∵，，

∴.

过作于，

则.

∵平面，

∴平面.

∵，

∴.

由（Ⅰ）得平面，∴，

∵，

∴ .

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面，

∴，

∵，，

∴平面.

又为的中点，

∴三棱锥的高.

∵，

∴.

.