Question

9．已知数列{a_n}中a₁=2，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，数列{b_n}中，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，其中n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设T_n是数列{（$\frac{1}{3}$）ⁿ•b_n}的前n项和，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由条件可得可得b_n+1，再由条件b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，从而得到b_n+1-b_n=1，由此证得结论．
（2）由（1）可知（$\frac{1}{3}$）ⁿ•b_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，用错位相减法求出T_n的解析式，从而可得要证的不等式成立．

解答 证明：（1）由a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
可得b_n+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$，
而b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1
∴{b_n}是首项为b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，公差为1的等差数列；
（2）证明：由（Ⅰ）可知b_n=n，（$\frac{1}{3}$）ⁿ•b_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
则T_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+3•$\frac{1}{27}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+3•$\frac{1}{81}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得，T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4•{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{2•{3}^{n}}$＜$\frac{3}{4}$．
故T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查等差关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，用错位相减法对数列求和，数列与不等式的综合应用，属于中档题．