Question

【题目】函数

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若，请判定的奇偶性；

（3）是否存在实数，使函数在递增，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）定义域为；（2）奇函数；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）当时，函数的定义域为，；（2），函数的定义域为，即，关于原点对称，又，所以函数为奇函数；（3）假设存在，设，由于，所以在区间上单调递减，若底数，根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递减，不符合题意，若底数，根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递增，所以当时，取得最大值1，即，，所以，符合题意.

试题解析：（1）由题意：，，即，

所以函数的定义域为.

（2）易知，

∵，且，∴，关于原点对称，

又∵=，

∴=-=-，

∴为奇函数.

（3）令， ，在上单调递减，

又∵函数在递增， ∴，

又函数在的最大值为1，，

即，.