Question

【题目】已知数列的首项，其前项和为，对于任意正整数，，都有.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，且.

①求证数列为常数列.

②求数列的前项和.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①见证明；②

【解析】

（Ⅰ）在中取，求得.然后求出当时的通项公式.

（Ⅱ）①将数列的通项公式代入， 用构造法得出，即得证.

②由①可知，，则等差数列前项和.当时,得；当时,得；当时，；从而可求得数列的前项和.

解：（Ⅰ）令，，则由，得

因为，所以，

当时，，且当时，此式也成立．

所以数列的通项公式为

（Ⅱ）①因为，所以（※），

又因为，由（※）式可得，且

将（※）式整理

两边各加上得

可知恒成立

所以数列为常数列

②由①可知，，前项和，

可知，前两项为正数，从第三项开始为负数，

时，；

时，；

时，

经检验，时也适合上式

所以，