Question

【题目】已知项数为的数列满足如下条件：①；②．若数列满足，其中则称为的“心灵契合数列”．

（I）数列1，5，9，11，15是否存在“心灵契合数列”若存在，写出其心灵契合数列，若不存在请说明理由；

（II）若为的“心灵契合数列”，判断数列的单调性，并予以证明；

（Ⅲ）已知数列存在“心灵契合数列”，且，，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）单调递减，证明见解析； （Ⅲ）33

【解析】

（I）求出、、、后，根据“心灵契合数列”的定义判定即可；

（II）由“心灵契合数列”的定义，结合数列单调性讨论的符号即可得解；

（Ⅲ）根据数列及其“心灵契合数列”中项的特征，结合单调性分析出，即可得解.

（I）数列1，5，9，11，15不存在“心灵契合数列”

因为，

，，

，，

所以数列1，5，9，11，15不存在“心灵契合数列”

（Ⅱ）数列为单调递减数列．

因为，，，

又因为，所以有，

所以，

即成立

所以数列为单调递减数列．

（Ⅲ），都有，

因为，．

所以，

所以，

所以

因为，

所以，

又

，

则，即，，所以．

例如：，

此时，，

且为单调递减数列，故满足题意．

所以m的最大值是33．