Question

【题目】已知函数.

（1）解关于的不等式：；

（2）当时，过点是否存在函数图象的切线？若存在，有多少条？若不存在,说明理由；

（3）若是使恒成立的最小值，试比较与的大小（）.

Answer 1

【答案】（1）当时，；当时，；（2）不存在，理由见解析；（3）.

【解析】

（1）当时，时，；当时，时，，解之即可；

（2）由题意可得，切线斜率为，设，求导可得在上递减，上递增，故，所以方程无解，问题得解；

（3）由整理，得，在上单调递增，最小值1，所以，即，故，，令，可得，即可得出.

（1）由已知，得

当时，的定义域为；当时，的定义域为

①当时，，原不等式等价于：

，

解得；

②当时，，原不等式等价于：

，

解得.

（2）当时，，

设上的切点坐标为，显然，

求导，得，故切线斜率

由题意，得，即

设，则，

在上单调递减；在上单调递增，

所以没有实根，故不存在切线.

（3）由整理，得

由（2）可知，在上单调递增，

所以当时取得最小值1，

由题意可得，即，故，

.

令，则，

而，即，

，

.