Question

【题目】我们称一个非负整数集合（非空）为好集合,若对任意,或者,或者.以下记为的元素个数.

（Ⅰ）给出所有的元素均小于的好集合;（给出结论即可）

（Ⅱ）求出所有满足的好集合;（同时说明理由）

（Ⅲ）若好集合满足,求证: 中存在元素,使得中所有元素均为的整数倍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;.（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意得到集合为；（2）设,其中,则由题意: ,故,即，根据题干中的条件限制元素特性，进而找到满足条件的好集合；（3）通过归纳可得到结果.

解析：

（Ⅰ）.

（Ⅱ）设,其中,则由题意: ,故,即.

考虑,可知,所以或.

若,则考虑,由于,所以,因此.

所以.但此时考虑,但,不满足题意.

若,此时满足题意.

所以,其中为相异正整数.

（Ⅲ）记,则.

首先, .设,其中.

分别考虑和其他任一元素,由题意可得也在中.

而,

所以,所以.

对于,考虑,其和大于,故其差.

特别的, ,所以.

由,且,所以,

通过归纳可得: .

所以,此时.得证.