Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）根据中垂线性质得，即得，再根据椭圆定义确定轨迹方程，（2）因为被轴平分，所以，设坐标代入表示得 ，设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入化简，最后根据方程恒成立条件得直线过定点.

试题解析：（1）由已知， ，圆的半径为

依题意有： ，

故点P的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，即

故点P的轨迹E的方程为

（2）令，因A，B，D不共线，故的斜率不为0，可令的方程为： ，则由

得

则 ①

被轴平分，

即，亦即 ②

而 代入②得：

③

①代入③得：

时得： 此时的方程为： 过定点（1，0）

时 ， 亦满足，此时的方程为：

综上所述，直线恒过定点（1，0）