Question

【题目】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3．

（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：BD⊥A1C；

（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1

【解析】

（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，先证明OE∥A1C，再证明A1C∥平面BDE；（Ⅱ）先证明BD⊥平面ACC1A1，再证明BD⊥A1C；（Ⅲ）由利用体积变换求三棱锥A-BDE的体积．

（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，

在△ACA1中，∵O，E分别为AC，AA1的中点，∴OE∥A1C，

∵A1C平面BDE，OE平面BDE，

∴A1C∥平面BDE；

（Ⅱ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，BD底面ABCD，∴AA1⊥BD，

∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

∵A1C平面ACC1A1，∴BD⊥A1C；

（Ⅲ）解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1的中点，且AA1=3，

∴AE=，即三棱锥E-ABD的高为．

由底面正方形的边长为2，得．

∴．