Question

【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为，椭圆O的离心率为．

(1)求椭圆O的标准方程；

(2)过B点作圆E：的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线恒过定点.

【解析】

（1）根据已知条件列方程组，解方程组可得.

（2）设过B的切线方程，由d=r，利用韦达定理得两切线PC、PD的斜率、关系，把直线、代入椭圆方程求出C、D点坐标，利用两点式建立CD方程，化简方程可得.

（1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大，此时，

所以，

所以椭圆的标准方程为：.

（2）设过点与圆相切的直线方程为：，即：，

因为直线与圆：相切，所以，

即得.

设两切线的斜率分别为，则，

设，，

由，

∴，即，∴；

同理：，；

∴，

所以直线的方程为：.

整理得：，

所以直线恒过定点.