Question

已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行．
(1)求的解析式；
(2)是否存在t∈N^*，使得方程在区间内有两个不等的实数根？
若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）.
（2）存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. 

解析试题分析：（1）根据是二次函数，及不等式的解集是，
可设，. 再根据函数在切点的斜率就是该点处的导函数值，可建立
方程，解得.
（2）首先由（1）知，方程等价于方程.
构造函数，通过“求导数、求驻点、讨论导数值的正负”明确函数的单调区间，通过计算，
认识方程有实根的情况.
试题解析：（1）∵是二次函数，不等式的解集是，
∴可设，.
∴.                                           2分
∵函数在点处的切线与直线平行，
∴.
∴，解得.
∴.                           5分
（2）由（1）知，方程等价于方程  6分
设，
则.                         7分
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.   9分
∵，
∴方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间
内没有实数根.                  12分
∴存在唯一的自然数，使得方程
在区间内有且只有两个不等的根.      13分
考点：二次函数，导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性.