Question

【题目】设为任意给定的质数.证明：一定存在质数，使得对任意的整数，数都不能被整除.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

要找的质数仅和有关，与无关，所以，对任意的正整数，若则.也就是说，若，则.

这样，问题就转化为选取适当的，代替来讨论.

最简单的选择是取.先对此进行试探性讨论.有

.

如果找到的质因数，能使得对任意的整数，都不能被整除，那么，就解决了本题.

对的质因数，可分为两类：

（1）不能被整除.对这些就有，因而，.

（2）被整除.此时，希望对所选取的的质因数加上进一步可实现的条件，能有.

假定这样的存在，取质数.若存在某个，使得，则.由此及推出.其中，.

注意到，，或.

如果取得到质数，使得，即，则必有.

如果再要求，则有

.

这就满足本题的要求.

由以上分析知，只要存在质数q满足条件：

（i）.，（ii），及（iii）.这样的质数就满足本题的要求.

下面具体来找这样的质数.

由前两个条件启发，考虑

的质因数.

显见，这样的不等于.

若，则由此及

，

推出.矛盾.

所以，满足条件（i）和（ii）.

又，

所以，必有一个质因数，使得，即这样的满足条件（iii）.