Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）的最小值为-3.

【解析】

（1）由，可得，根据导数与单调性的关系，即判断单调性；

（2）由，因为对任意的恒成立，对任意的恒成立，构造函数，可得，由，对进行分析，利用函数零点存在定理，可知一定存在唯一的，使得，进而求出的单调性，由此即可求出结果．

（1）由题意，函数，可得，

当时，；

当时，，

故的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）由，

因为对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，则，

因为，所以.

又由函数，可得，所以函数单调递增，

因为，，

所以一定存在唯一的，使得，即，即，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

因为，所以的最小值为-3.