Question

【题目】设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1 a≤﹣1
（2）解：当x≥a时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴ ，

如图所示：

当x≤a时，f（x）=x2+2ax﹣a2，

∴ ．

综上所述： ．

（3）解：x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，

得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2

当a≤﹣ 或a≥ 时，△≤0，x∈（a，+∞）；

当﹣ ＜a＜ 时，△＞0，得：

即

进而分2类讨论：

当﹣ ＜a＜﹣ 时，a＜ ，

此时不等式组的解集为（a， ]∪[ ，+∞）；

当﹣ ≤x≤ 时， ＜a＜ ；

此时不等式组的解集为[ ，+∞）．

综上可得，

当a∈（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；

当a∈（﹣ ，﹣ ）时，不等式组的解集为（a， ]∪[ ，+∞）；

当a∈[﹣ ， ]时，不等式组的解集为[ ，+∞）

【解析】（1）f（0）≥1﹣a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．（3）h（x）≥1转化为3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．
【考点精析】掌握二次函数的性质和解一元二次不等式是解答本题的根本，需要知道当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．