Question

【题目】已知函数的最小值为0，其中.

（1）求的值；

（2）若对任意的，有恒成立，求实数的最小值；

（3）记，为不超过的最大整数，求的值.

（参考数据：，，）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）首先求导，求出函数的单调区间，根据单调区间得到最小值，即可得到的值.

（2）当时，易证不合题意，当时，令，，令，可得，.分类讨论和时的单调性和最值即可得到实数的最小值.

（3）当时，，.当时，，取，得，从而得到，所以.又因为

，得到，即可得到.

（1），

令，得，

在单调递减，单调递增，

，所以.

（2）当时，取，有，故不合题意.

当时，令，

求导函数可得，

令，可得，.

①当时，，

所以，恒成立，

因此在上单调递减，

从而对任意的，总有，

即对任意的，有成立，故符合题意；

②当时，，

对于，，因此在内单调递增，

从而当时，，

即有不成立，故不合题意.综上，

的最小值为.

（3）当时，，.

当时，

由（2）知，取，得，

从而，

所以

.

又，

所以.

令，则，设，

，

所以在单调递增，则，

所以单调递增，即，又，

所以，

所以.