Question

已知二次函数f（x）=ax²-bx+1．
（1）若f（x）＜0的解集是（

1

4

，

1

3

），求实数a，b的值；
（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为-1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax²-bx+1=0的解是x₁=

1

4

，x₂=

1

3

，由根系关系即可求得实数a，b的值；
（1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为-1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案．

解答：解：（1）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（

1

4

，

1

3

），
故方程ax²-bx+1=0的两根是x₁=

1

4

，x₂=

1

3

，
所以

1

a

=x₁x₂=

1

12

，

b

a

=x₁+x₂=

7

12

，
所以a=12，b=7．
（2）∵b=a+2，
∴f（x）=ax²-（a+2）x+1=a（x-

a+2

2a

）²-

(a+2)2

4a

+1，
对称轴x=

a+2

2a

=

1

2

+

1

a

，
当a≥2时，x=

a+2

2a

=

1

2

+

1

a

∈（

1

2

，1]，
∴f（x）_min=f（

a+2

2a

）=1-

(a+2)2

4a

=-1，∴a=2；
当a=1时，x=

a+2

2a

=

1

2

+

1

a

=

3

2

，∴f（x）_min=f（1）=-1成立．
综上可得：a=1或a=2．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．