Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线MP与直线NP的斜率之积为.记动点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过点作直线与曲线C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），C为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）存在，

【解析】

（1）写出斜率，根据斜率之积为建立方程，化简即可；

（2）设直线的方程为，与椭圆C的方程联立整理得，设，，定点（依题意）.由根与系数的关系可得，，，由直线与直线恰好关于x轴对称，则直线与直线的斜率互为相反数，代入可得.

（1）由题设可得，，，则，化简得. ，

所以C为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.

（2）存在定点，满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，

由题设知，直线l的斜率不为0，设直线的方程为，

与椭圆C的方程联立整理得，设，，定点（依题意）.

由根与系数的关系可得，，

直线与直线恰好关于x轴对称，则直线与直线的斜率互为相反数，

所以，即.

又，，所以整理得.

从而可得即，

所以当，即时，直线与直线恰好关于x轴对称

所以，在轴上存在点，满足直线与直线恰好关于x轴对称