如图所示,在三棱锥PABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D、C、E、F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.
(1)求证:AB∥GH;
(2)求二面角DGHE的余弦值.
(1)证明:由D、C、E、F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,知G,H分别是△PAQ,△PBQ的重心.
∴==.
∴GH∥DC.
又D,C为AQ,BQ的中点,则DC∥AB,
∴AB∥GH.
(2)解:在△ABQ中,
AQ=2BD,AD=DQ,
所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ,
因为PB⊥平面ABQ,
所以AB⊥PB.
又BP∩BQ=B,
所以AB⊥平面PBQ.
由(1)知AB∥GH,所以GH⊥平面PBQ.
又FH⊂平面PBQ,所以GH⊥FH.
同理可得GH⊥HC,
所以∠FHC为二面角DGHE的平面角.
设BA=BQ=BP=2,连接FC,
在Rt△FBC中,由勾股定理得FC=,
在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=.
又H为△PBQ的重心,
所以HC=PC=.同理FH=.
在△FHC中,由余弦定理得
cos∠FHC===-.
即二面角DGHE的余弦值为-.
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如图,点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是 (填出所有可能的序号).
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设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在α、β内移动时,那么所有的动点C( )
(A)不共面
(B)当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面
(C)当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面
(D)不论A、B如何移动都共面
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如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是( )
(A)平面ABD⊥平面ABC (B)平面ADC⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDC (D)平面ADC⊥平面ABC
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已知a、b、l表示三条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面,有下列四个命题:
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;
②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,则b⊥α;
④若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,l⊄α,则l⊥α.
其中正确命题的序号是 .
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直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.
(1)求证:CE⊥A′D;
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
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空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE异面.
则所有的正确命题为 .
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