Question

【题目】设实数，椭圆的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段PQ的中点为N，点O是坐标原点，直线ON交直线于点M．

若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标；

求证：；

求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

设，，直线PQ的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，即可求出，

设线段PQ的中点为由利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得N的坐标联立可得M的坐标，可证明．

根据弦长公式求出，利用基本不等式的性质即可得出．

解：可得焦点，设，，

直线PQ的方程为：，

联立，化为：，

点P的横坐标为1，

，

，

解得，

．

点Q的横坐标为；

线段PQ的中点为，

由可得，，

，．

直线ON的方程为，

联立，可得，

．

．

，

．

，

故最小值为，当且仅当，即时取等号，

故的最大值为．