Question

【题目】如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝2．求证：

（1）PA⊥平面EBO；

（2）FG∥平面EBO．

Answer 1

【答案】（1）详见解析 （2）详见解析

【解析】

试题（1）证明线面垂直条件，一般利用线面垂直判断定理给予证明，即从线线垂直证明，而条件面面垂直，可利用其性质定理 ，转化为线面垂直，即由平面PAC⊥平面ABC得 BO⊥面PAC．进而得到线线垂直;（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理给予证明，即从线线平行出发，本题中可利用三角形重心性质或三角形中位线性质，因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，因此AF与 BE交点Q是△PAB的重心，得到对应线段成比例，，从而得到线线平行．

试题解析：证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，

△ABC为等边三角形．

（1）因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC．

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，

BO平面ABC，所以BO⊥面PAC．

因为PA平面PAC，所以BO⊥PA．

在等腰三角形PAC内，O、E为所在边的中点，所以OE⊥PA．

又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO．

（2）连AF交BE于Q，连QO．

因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

所以，且Q是△PAB的重心，

于是，所以FG∥QO．

因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO．

【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得．