Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆：过点，，为椭圆的左、右焦点，离心率为，圆的直径为.

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）设直线与圆相切于第一象限内的点.

①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；

②若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）椭圆:;圆:（2）① ,②

【解析】

（1）根据椭圆所过定点及离心率,结合椭圆中的关系,即可求得椭圆的标准方程;求得圆的圆心和半径,即可得圆的方程.

（2）①根据椭圆与圆的位置关系,可知当直线与圆相切于第一象限内的点,且直线与椭圆有且只有一个公共点时,直线的斜率必小于0.设出直线方程,由直线与圆相切及点到直线距离公式,可得与的等量关系.联立直线方程与椭圆方程,由一个交点时可得与的等量关系.建立方程组可得与的值,即可求得直线方程.将直线方程与圆的方程联立,即可求得切点坐标.

②设,将直线方程与椭圆方程联立,可得,,由两个交点时可求得的取值范围.利用弦长公式表示出,由点到直线距离公式表示出到直线的距离.结合的面积为即可得与的等量关系.解方程求得与的值,即可求得直线方程.

（1）椭圆：过点,离心率

所以,解方程组可得

故椭圆的方程为

圆的直径为,则圆心为,半径为

所以圆的方程为

（2）①椭圆的方程为,圆的方程为,如下图所示:

直线与圆相切于第一象限内的点,且直线与椭圆有且只有一个公共点,

所以直线与椭圆也相切,且切点在第一象限,切点的纵坐标小于点的纵坐标

因而直线的斜率小于0

设直线的方程为,即

因为直线与圆相切,则圆心到直线的距离为圆的半径,即,

化简可得

因为直线与椭圆也相切,则

化简可得

则

解得

所以

解得,(舍)

则

所以直线的方程为

则,化简可得

解得

所以切点的坐标为

②直线与椭圆交于,两点,设

联立直线与椭圆,则

化简可得

则

由题意可知

化简解不等式可得

由弦长公式可得

由点到直线距离公式可知到直线的距离

则

将,即代入可解得

即,(舍),则

所以直线的方程为