Question

【题目】如图，等边三角形所在平面与梯形所在平面互相垂直，且有，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由平面几何知识可得，再由面面垂直的性质定理得平面，最后由面面垂直的判定定理得结论；

（2）取中点为，可得，从而有平面，以为原点，为轴建立空间直角坐标系(如图)，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，利用法向量的夹角得出二面角（注意二面角是锐角还是钝角）.

（1）证明：取中点，连接，

则四边形为菱形，即有，

所以.

又平面，

平面平面，

平面平面，

∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（2）由（1）可得，

取中点，连接，则，，

又平面，

平面平面，

平面平面，

∴平面.

以为原点建系如图，则

，，，，

，，，

设平面的法向量为，则

，取，得.

设平面的法向量为，则，取，，

.

∴二面角的余弦值为.