Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，且，.

（1）求证：；

（2）若底面是菱形，与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）过作，垂足为，连接，只需证明即可；（2）是平面与平面所成锐二面角的平面角，在三角形中求解即可.

（1）过作，垂足为，连接，

因为平面平面，所以平面，

因为，所以平面，所以，

因为，所以，

因为，所以.

解法一：（2）因为，平面，平面，

所以平面，

设平面平面直线，所以，

因为平面，所以，，

所以是平面与平面所成锐二面角的平面角，

因为平面，

故是直线与平面所成角，即，

设，则，，

设，则，，

所以，所以，

故，所以，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

解法二：（2）因为平面，平面，

故是直线与平面所成角，即，

且，，

设，则，，

在中，设，则，，

在中，所以，所以，

以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，

则平面的法向量，

设平面的法向量，

因为，，

所以，故，

设平面与平面的夹角为，

则，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.