Question

【题目】已知函数， 为实数.

（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；

（2）设，当时，求函数的最小值（用表示）；

（3）若关于不等式的解集中恰好有两个整数解，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) m=-2；(2)详见解析;(3) 或.

【解析】试题分析：（1）有二次不等式的解法知，1,2是方程f(x)=0的根，进而可求实数；

（2）由对称轴与定义域的位置关系，结合二次图像即可得最小值；

（3）由得，设，由，所以原不等式一定有整数解x=1，故有两种情况，即{0,1}和{1,2}，分别求范围即可.

试题解析：

（1）因为不等式的解集是(1,2),所以1,2是方程f(x)=0的根,

由f(2)=0得m=-2，经验证符合题意，所以m=-2；

（2）函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，

因为，所以，

①当，即m≥3时，函数在单调递增，

则当x=-1时取得最小值；

②当，即时，

函数在上递减，在上单调递增，

所以当时，函数有最小值；

综上所述，当m≥3时；当时.

（3）由得，

设，

因为，所以原不等式一定有整数解x=1.

因为不等式的解集中恰好有两个整数解，故有两种情况，即{0,1}和{1,2};

①当解集中恰好有两个整数解集为{0,1}时，有，解得；

②当解集中恰好有两个整数解集为{1,2}时，有，解得；

综上，m的取值范围是或.