Question

【题目】如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．

（1）证明：直线MN∥平面OCD；

（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（3）求点B到平面OCD的距离．

Answer 1

【答案】(1) (2) .(3)

【解析】

试题方法一：（1）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面OCD，方法是两个平面内相交直线互相平行得到，从而的到MN∥平面OCD；

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP菱形的对角相等得到∠ABC=∠ADC=，

利用菱形边长等于1得到DP=，而MD利用勾股定理求得等于，在直角三角形中，利用三角函数定义求出即可．

（3）AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD，

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，求出距离可得．

方法二：（1）分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，分别表示出A，B，O，M，N的坐标，

求出，，的坐标表示．设平面OCD的法向量为=（x，y，z），则，

解得，∴MN∥平面OCD

（2）设AB与MD所成的角为θ，表示出和，利用a×b=|a||b|cosα求出叫即可．

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值，由

得．所以点B到平面OCD的距离为．

解：方法一（综合法）

（1）取OB中点E，连接ME，NE

∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）

作AP⊥CD于P，连接MP

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP

∵，∴，，

∴

所以AB与MD所成角的大小为

（3）∵AB∥平面OCD，

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，

∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，

∵，，

∴，所以点B到平面OCD的距离为．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：

A（0，0，0），B（1，0，0），，，

O（0，0，2），M（0，0，1），

（1），，

设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则×=0，×=0

即

取，解得

∵×=（，，﹣1）×（0，4，）=0，

∴MN∥平面OCD．

（2）设AB与MD所成的角为θ，

∵

∴

∴，AB与MD所成角的大小为．

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，

由，得d==

所以点B到平面OCD的距离为．