Question

【题目】已知椭圆:的左右焦点分别为，，左顶点为，点在椭圆上，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别与轴交于点，，.求证：以为直径的圆恒过交点，，并求出面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据点在椭圆上，且△的面积为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以，，可证明，，同理，则以为直径的圆恒过焦点，，可得，进而可得结果.

试题解析：（Ⅰ），，

又点在椭圆上，，，

解得，或（舍去），又，，

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ），，，

方法一：当直线的斜率不存在时，，为短轴的两个端点，则，， ，，则以为直径的圆恒过焦点，，

当的斜率存在且不为零，设直线的方程为，

设点（不妨设），则点，

由，消去得，所以，，

所以直线的方程为，

因为直线与轴交于点，令得，

即点，同理可得点，

，，

，同理，

则以为直径的圆恒过焦点，，

当的斜率存在且不为零时，

，

△面积为，

又当直线的斜率不存在时，，△面积为，

△面积的取值范围是．

方法二：当，不为短轴的两个端点时，设，

则，由点在椭圆上， ，

所以直线的方程为，令得，

即点，同理可得点，

以为直径的圆可化为，

代入，化简得，

令解得

以为直径的圆恒过焦点，，

，又，,

△面积为，

当，为短轴的两个端点时，，△面积为，

△面积的取值范围是．